144
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Asuntos de interés indagatorio en Álgebra Educativa
Andrés González R
1
.
agorondell@gmail.com
Universidad Pedagógica Experimental Libertador-IPMAR
Venezuela
Recibido: Agosto, 2020
Aceptado: Octubre, 2020
RESUMEN
El álgebra educativa constituye un espacio de interés indagatorio en Educación
Matemática (EM). En el caso de los primeros niveles de escolaridad, esto se
manifiesta en los distintos enfoques propuestos para la introducción del álgebra, la
presencia de las corrientes denominadas álgebra temprana y preálgebra, que
difieren en torno a los fines y los momentos más oportunos para la introducción del
álgebra; y la existencia de propuestas metodológicas, como la del Modelo Teórico
Local de Filloy (1999), para desarrollar investigaciones, entre otras. En
consecuencia, el propósito de este ensayo es ofrecer detalles relacionados con
algunos de los asuntos planteados por la línea de investigación en didáctica del
álgebra y pensamiento algebraico (LIDALGEBRA), la expectativa es que esta
exposición sirva de aliciente para que todos aquellos educadores e investigadores
de la EM se sientan atraídos por estos temas y que puedan evidenciar su
importancia así como sus reales posibilidades de concreción.
Palabras clave: Educación Matemática; didáctica del álgebra; investigación.
1
Profesor de Matemática (UPEL), Doctor en Educación (UCV), Magíster Enseñanza de la Matemática (UPEL) y
Especialista en Informática Educativa (USB). Profesor Asociado del Instituto Pedagógico de Maracay. En la actualidad
(2020) es el Jefe del Departamento de Matemática y Coordinador de la Línea de Investigación en Didáctica del Álgebra y
Pensamiento Algebraico (LIDALGEBRA) del Núcleo de Investigación en Educación Matemática (NIEM). Autor de varios
artículos relacionados con la enseñanza del Álgebra.
145
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Matters of indagatory interest in Educational Algebra
Andrés González R
agorondell@gmail.com
Universidad Pedagógica Experimental Libertador-IPMAR
Venezuela
Received: August, 2020
Accepted: October, 2020
ABSTRACT
Educational algebra constitutes a space of inquiry interest in Mathematical
Education (MS). In the case of the first levels of schooling, this is manifested in the
different approaches proposed for the introduction of algebra, the presence of
currents called early algebra and pre-algebra, which differ around the most
opportune ends and moments for such introduction; and the existence of
methodological proposals, such as that of Filloy's Local Theoretical Model (1999),
to carry out research. Consequently, the purpose of this essay is to offer details
related to some of the issues raised by the line of research in didactics of algebra
and algebraic thought (LIDALGEBRA), the expectation is that this exhibition will
serve as an incentive for all those educators and researchers MS are attracted to
these issues and that they can demonstrate their importance as well as their real
possibilities of realization.
Keywords: Mathematics education; algebra teaching; research
146
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Questões de interesse indagatório na Algebra Educacional
Andrés González R
agorondell@gmail.com
Universidad Pedagógica Experimental Libertador-IPMAR
Venezuela
Data de recepção: agosto de 2020
Data de aceitação: outubro de 2020
RESUMO
A álgebra educacional constitui um espaço de interesse para a Educação
Matemática (EM). No caso dos primeiros níveis de escolaridade, isso se manifesta
nas diferentes abordagens propostas para a introdução da álgebra, na presença
de correntes chamadas álgebra precoce e pré-álgebra, que diferem em torno dos
fins e momentos mais oportunos para tal introdução e a existência de propostas
metodológicas, como a do Modelo Teórico Local de Filloy (1999), para a
realização de pesquisas. Consequentemente, o objetivo deste ensaio é oferecer
detalhes relacionados a algumas das questões levantadas pela linha de pesquisa
em didática do álgebra e do pensamento algébrico (LIDALGEBRA), a expectativa
é que essa exposição sirva de incentivo para todos os educadores e
pesquisadores dos EM são atraídos por essas questões e podem demonstrar sua
importância e suas reais possibilidades de concretização.
Palavras chave: Ensino de matemática, ensino de álgebra, pesquisa.
147
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Introducción
El término pensamiento algebraico lo concebimos de dos maneras, por una
parte, alude al tipo de pensamiento matemático que activan las personas ante
cualquier situación de naturaleza algebraica, está relacionado con: (a) la
reversibilidad de las transformaciones que se efectúan sobre los objetos
matemáticos; (b) el manejo consciente de lo general y lo particular, y (c) el
lenguaje algebraico, entre otros indicadores. También lo empleamos para
identificar un área de investigación en Educación Matemática (EM) cuyo asunto de
interés indagatorio se concentra en “los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y
comunicación de los conceptos algebraicos en el sistema educativo y en el medio
social” (Socas, 1999, p.261). El pensamiento algebraico es el foco de la línea de
investigación en didáctica del álgebra y pensamiento algebraico (LIDALGEBRA)
algunos de sus objetivos, expuestos en González (2015), son:
Realizar investigaciones orientadas a comprender la complejidad del proceso
de transición del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico (de la
escuela al liceo).
Caracterizar el pensamiento algebraico de los estudiantes en los diferentes
niveles del sistema escolar venezolano. Particularmente, el de los futuros
profesores de matemática.
Analizar las diferentes tendencias para la introducción del álgebra escolar.
Estudiar el proceso de generalización y el reconocimiento de patrones.
148
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Diseñar, elaborar, implementar y validar propuestas didácticas para la
introducción del álgebra escolar.
Estudiar el impacto de la mediación tecnológica en los procesos relacionados
con el pensamiento algebraico.
Producir recursos educativos orientados a mejorar la comprensión de los
objetos y procesos algebraicos.
Estudiar la naturaleza de los fenómenos relacionados con la enseñanza y el
aprendizaje de los objetos y procesos algebraicos.
Proponer modelos teóricos interpretativos (constructos, nociones, conceptos y
enfoques) en relación con la enseñanza y el aprendizaje del álgebra (p.7).
En consecuencia, nos proponemos detallar algunos temas delineados en
González (2015) a fin de promover el interés de la comunidad científica en
desarrollar investigaciones en este ámbito. Específicamente, ahondamos en
asuntos propios del álgebra educativa (o álgebra escolar), también exponemos
algunos rasgos relevantes que caracterizan el Álgebra Temprana y Pre-Álgebra
como corrientes para introducir el Álgebra, y finalmente describimos algunas
teorías que han sido desarrolladas en este contexto.
Algunos temas a investigar en álgebra educativa
Al igual que ocurre con el término matemática escolar resulta difícil precisar
la definición de álgebra educativa (Filloy, 1999), no es una tarea sencilla por la
diversidad y complejidad de las aristas que deben considerarse, entre las cuales
están las relacionadas con la conceptualización del álgebra como rama de la
149
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Matemática, las relaciones entre pensamiento y lenguaje, y fundamentalmente la
que tiene que ver con el currículum, entre otras. Desde nuestro punto de vista
constituye tanto un objeto como un método. Como objeto consideramos el álgebra
educativa como el conjunto de contenidos algebraicos propios de los niveles
primario y medio de la escolaridad. Mientras que como método, aludimos al ámbito
de la EM cuyo centro de interés indagatorio es la enseñanza y aprendizaje de
tales contenidos, en este sentido Serres (2007) la define como “la rama de la
matemática educativa que estudia el conocimiento algebraico, su aprendizaje y su
didáctica (p. 5). En algunos casos empleamos indistintamente los términos álgebra
escolar o álgebra elemental.
Entre los temas que han sido investigados en este contexto, según Kieran y
Filloy (1989) están: el marco de referencia aritmético; variables, expresiones y
ecuaciones; la resolución de ecuaciones, funciones y sus gráficas; y enfoques que
usan computadoras. En el caso particular del marco de referencia aritmético se
tiene que el mismo da cuenta de: (a) la forma que tienen los estudiantes de ver el
signo de igualdad; (b) sus dificultades con la concatenación y con algunas de las
convenciones de notación del álgebra; y (c) su falta de habilidad para expresar
formalmente los métodos y los procedimientos que usan para resolver problemas.
Además, las investigaciones de Chevallard (1985), Kieran y Filloy (1989),
Kieran (1989), y Filloy (1999) revelan las dificultades que se oponen a la
comprensión y al aprendizaje del álgebra escolar entre las que podemos destacar
aquellas que experimentan los alumnos cuando se avanza progresivamente a
150
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
sistemas de representación más abstractos, en los cuales aumenta tanto el poder
del lenguaje simbólico como el grado de generalización.
En torno a los errores intrínsecos que conlleva el aprendizaje del álgebra,
Filloy (1999) señala los siguientes: errores usuales de sintaxis al operar
expresiones algebraicas, errores de traducción al resolver problemas en el
lenguaje natural, ausencia del significado o interpretaciones erróneas del
significado de las expresiones algebraicas (tomando en cuenta los diferentes
contextos en que aparecen); y como dificultad la imposibilidad de utilizar el álgebra
para resolver problemas.
Lo relacionado con las competencias también ha sido considerado, en este
sentido señala Palarea (1998) que en el aprendizaje del álgebra debe tomarse en
cuenta “un conjunto de competencias incluyendo la representación de las
relaciones cuantitativas, como un estilo del pensamiento matemático” (p.6). Por lo
tanto, resulta importante atender la clasificación de las competencias algebraicas
realizada por Socas, Camacho y Hernández (1998) que mostramos en el cuadro
1.
151
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Cuadro 1.
Clasificación de las competencias algebraicas
Competencia
Indicador
Habilidad para aplicar los
conocimientos
algebraicos a la
resolución de problemas
Formular problemas algebraicos, aplicar diferentes
estrategias en la resolución de problemas algebraicos,
verificar e interpretar resultados y generalizar soluciones
Habilidad para usar el
lenguaje algebraico en la
comunicación de ideas
Expresar ideas matemáticas usando el lenguaje algebraico
tanto verbal como escrito, comprender e interpretar las ideas
que se presentan en lenguaje algebraico y usar la notación
algebraica para estructurar y representar ideas, describir
situaciones y modelos.
Habilidad para razonar y
analizar información dada
en lenguaje algebraico
Analizar situaciones en lenguaje algebraico para determinar
propiedades y estructuras comunes, usar el razonamiento
deductivo para verificar conclusiones y construir
razonamientos válidos expresados en lenguaje algebraico,
usar el razonamiento inductivo y el lenguaje algebraico para
hacer, reconocer y refutar conjeturas
Conocimiento y
entendimiento de los
conceptos y
procedimientos
algebraicos
Clasificar y definir objetos expresados en lenguaje
algebraico, identificar y generar ejemplos y contraejemplos,
usar diferentes representaciones semióticas para representar
los objetos del álgebra, reconocer los distintos significados y
representaciones de los objetos del Álgebra, identificar
propiedades de los objetos algebraicos y determinar
condiciones que determina un objeto particular, comparar y
contrastar objetos del Álgebra
Disposición positiva hacia
el Álgebra
Confianza en el Álgebra para resolver problemas, comunicar
ideas y razonar, flexibilidad y tolerancia en la exploración de
objetos algebraicos, predisposición a perseverar en la
búsqueda de soluciones o conclusiones cuando trabaja con
objetos algebraicos, interés, curiosidad y creatividad en los
trabajos con Álgebra, apreciaciones de las aplicaciones del
Álgebra a otras áreas y a experiencias de la vida cotidiana.
Fuente: Elaboración propia a partir de Socas et al. (1998).
En Venezuela se han llevado cabo algunos estudios (Mosquera, 2017;
Serres, 2011; Andonegui, 2009; Valdivé y Escobar, 2011; entre otros) que
muestran un creciente interés por el álgebra escolar. Sin embargo, y a pesar de la
descripción que hemos presentado en los párrafos precedentes, son notoriamente
escasas las investigaciones que declaran explícitamente el álgebra educativa
152
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
como el marco contextual epistemológico en que sumergen sus asuntos de interés
indagatorio.
Necesidad de estrategias específicas en la enseñanza del álgebra escolar
Desde el punto de vista didáctico, en lo atinente a la enseñanza de
productos notables y factorización es emblemática la ausencia de referentes
aritméticos y geométricos; anulando así, en el primer caso, la metodología
inductiva consistente en el estudio de casos particulares, y prevaleciendo una
enseñanza de naturaleza deductiva en la que previamente se plantean fórmulas
que el estudiante debe aplicar en distintos tipos de ejercicios.
Por su parte, el abandono de la geometría como instrumento del álgebra
(Samper, 1996), supone invisibilizar los orígenes del álgebra, inclusive desconocer
que el Libro II de Los Elementos de Euclides (s. III AC) inspiró el acuñamiento del
término álgebra geométrica, en 1886, por el historiador de la Matemática H. G.
Zeuthen (1839-1920). Significa, además, omitir que esta vinculación entre álgebra
y geometría también está presente en contenidos específicos como los
determinantes de órdenes 2x2 y 3x3, los cuales tienen importantes aplicaciones
“naturales” en la enseñanza de la Matemática tales como el cálculo de áreas y
volúmenes.
Otro caso significativo lo encontramos en el tema de polinomios, su
introducción y el manejo de sus operaciones es absolutamente clásico, con un
esquema inamovible. Además, resulta destacable, tal como lo señalan Valdivé y
Escobar (2011), que el discurso escolar usa indistintamente la noción de polinomio
como función polinómica y expresión polinómica en un contexto algebraico, lo cual
153
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
resulta interesante ya que, en el caso de campos finitos como
, ( primo), estas
nociones no siempre son intercambiables. Por ejemplo en
, los polinomios
y
aunque son diferentes definen la misma función
polinómica.
Si juntamos los polinomios con los ejemplos anteriormente considerados
conseguimos un conjunto de temas en el que persiste un manejo metodológico
tradicional que se reitera a través del tiempo a pesar de las aportaciones que han
hecho las investigaciones. Esto es solo una pequeña muestra de las insuficiencias
que se consiguen cuando enfocamos lo atinente al diseño y validación de
estrategias que hacen uso de recursos específicos para la enseñanza de los
contenidos escolares algebraicos.
Enfoques y corrientes para introducir el álgebra escolar
Los medios y estrategias potencialmente factibles para la introducción del
álgebra en la escolaridad también han sido estudiados. En este sentido Bednarz,
Kieran y Lee (1996) han establecido cinco enfoques para su enseñanza: histórica,
generalización (de patrones numéricos y geométricos y de las leyes que
gobiernan las relaciones numéricas), resolución de problemas, modelización (de
situaciones matemáticas y de situaciones concretas), y la perspectiva funcional.
Particularmente, el enfoque de generalización forma parte de los trabajos
realizados por Radford (2010) con el estudio de la generalización mediante el
tema de patrones y regularidades.
154
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Adicionalmente, en relación con los momentos escolares propiciatorios para
el álgebra así como sus aspectos teleológicos han emergido dos corrientes
diferenciadas, pero no excluyentes: Álgebra Temprana (AT) y Pre-Álgebra (PA), a
continuación haremos una breve descripción de ambas tendencias.
Álgebra Temprana
El AT es una corriente que parte del principio de que es posible desarrollar
algunos aspectos propios del álgebra en los primeros niveles de la escolaridad, se
inicia en la extinta Unión Soviética con Davydov (1995) con su teoría de la
actividad de aprendizaje y el desarrollo del aprendizaje, luego en Estados Unidos
la toma Kaput (1996) quien ha llevado a cabo diversos trabajos en el seno de la
comunidad de investigadores en Educación Matemática de ese país, apoyándose
por las recomendaciones del NCTM (Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas de los Estados Unidos, por sus siglas en inglés). En particular, a
partir de esta corriente se ha logrado que “la notación algebraica sea introducida
entre los grados tercero y quinto de primaria” (Schlieman, Carraher y Brizuela, p.
15).
Además, también se cuestiona el tiempo de aparición del álgebra, ya que se
afirma que los tiempos didácticos para el aprendizaje del álgebra tradicionalmente
son prolongados y parece oportuno iniciar ese pensamiento a edades tempranas
(7-11 años), aprovechando las fuentes de significados que están presentes en los
contenidos matemáticos de la educación primaria. Esto último es muy importante,
pues significa aprovechar los mismos contenidos de la escolaridad y no insertarlos
en contenidos más avanzados.
155
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
De manera concreta, se propone incorporar a las aulas de educación
primaria actividades dirigidas a la observación de patrones, relaciones y
propiedades matemáticas para, de este modo, desarrollar competencias propias
del álgebra (Socas, 2011). Como ya se indicó, dicho planteamiento se sustenta en
investigaciones relacionadas con la didáctica del álgebra, entre las que se
encuentra Kaput (1996).
Un ejemplo de estudio desarrollado en esta corriente es el que realizaron
Barrio, Lalanne y Petich (2010), en Argentina, relacionado con la introducción de
ecuaciones diofánticas (ED) en la escuela; estas ED son ecuaciones en dos
variables, cuyo conjunto solución contiene infinitos pares. El trabajo consideró la
noción de variable y la generalización, abarcó los grados primero a tercero, y el
séptimo, respetando en cada caso el nivel cognitivo de los estudiantes. Sus
resultados alientan a darle continuidad. Según sus autores, “no estamos pensando
en niños planteando ecuaciones, pero hemos comprobado que pueden resolver
problemas modelizables mediante estas ecuaciones” (p. 15). Para llevar a cabo la
investigación asumieron la teoría de los Registros de Representación Semiótica de
Duval (2006)
Críticas al Álgebra Temprana
Dado el énfasis que hace de la relación entre aritmética y álgebra, y a pesar
de que el AT reconoce los prerrequisitos del desarrollo para el aprendizaje del
álgebra esta corriente no está exenta de críticas, algunas de ellas son expuestas
por Butto y Rojano (2004), quienes en su artículo se valen de los alegatos que
156
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
hace Radford (2010) a las ideas fundamentales de Schlieman, Carraer, y Brizuela
(2011) relacionadas con los supuestos del álgebra temprana.
Por ejemplo, citando a Radford (2010) señalan que este autor: (a) niega la
idea de operar con lo desconocido ya que esto ha sido refutado experimental e
históricamente desde mucho tiempo atrás; (b) se opone a la idea de que las
operaciones aritméticas conducen al significado algebraico y que el contacto
temprano con el álgebra puede ayudar a construir significados dentro de la
aritmética de los niños; (c) opina que no es conveniente relacionar solamente el
álgebra con la aritmética, pues la restringe a un solo campo del desarrollo,
perdiéndose “de vista algunas expectativas importantes para incorporar conceptos
aritméticos de otros campos, como el de la aritmética geometrizada” (Butto y
Rojano, p. 116).
Pre-Álgebra
Esta corriente tiene su origen con el hecho de que, como señala Socas
(2011), las investigaciones, mostraban que la perspectiva del álgebra como
aritmética generalizada era insuficiente para desarrollar en los alumnos un
pensamiento algebraico adecuado y que el uso de nuevas fuentes de significados,
como las nuevas tecnologías facilitaban entornos de enseñanza aprendizaje del
álgebra que aportaban concepciones diferentes de la misma.
Para este autor, esta corriente se apoya, en dos hechos esenciales. Uno, es
la concepción de que el álgebra está presente cuando se hace uso del simbolismo
algebraico, pero en el que la noción de dicho simbolismo es una concepción
mucho más amplia y va más allá de las escrituras formales de la aritmética
157
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
generalizada. Y, dos, en la validez de las propuestas de organización de los
estadios de desarrollo cognitivos en la que el álgebra ocupa el estadio de
desarrollo formal, y por lo tanto se considera fuera de las capacidades cognitivas
de los alumnos en los primeros años de la educación primaria.
En consecuencia, en la corriente Pre-Álgebra se apuesta, inicialmente, por
un acercamiento prealgebraico para los últimos cursos de educación primaria. En
este acercamiento al álgebra la tecnología se propone también como un mediador
muy interesante, sobre esta última vinculación Kaput (1996) ha realizado algunas
contribuciones. En el cuadro 2 resumimos algunas diferencias y similitudes entre
las corrientes Pre-Álgebra y Álgebra Temprana.
Cuadro 2
Comparación entre las corrientes Pre-Álgebra y Álgebra Temprana
Similitudes
Ambas sugieren un aprendizaje con
comprensión de las Matemáticas que
facilite el aprendizaje del álgebra.
Son corrientes relacionadas con la
enseñanza y aprendizaje de ciertos
aspectos de las Matemáticas antes de la
enseñanza formal del álgebra.
Ambas se encuentran en una fase de
desarrollo inicial en los tres ámbitos que
caracterizan la Educación Matemática:
epistemológico, cognitivo y didáctico.
Fuente: Elaboración propia a partir de Socas (2011)
158
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Algunas teorías para el desarrollo de investigaciones
Para desarrollar investigaciones en el ámbito del pensamiento algebraico
consideramos de mucho interés el Modelo Teórico Local (MTL) de Filloy (1999),
pues actúa como marco teórico y metodológico, regulador y orientador de las
indagaciones que se planteen. El MTL está vinculado con el concepto de Sistema
Matemático de Signos (SMS) de este mismo autor, además incluye cuatro
componentes interconectados entre sí: (a) modelo de enseñanza, (b) modelo de
los procesos cognitivos, (c) modelo de competencia formal y (d) modelos de
comunicación. Dicho modelo ha sido desarrollado exitosamente por Butto y
Rojano (2004) al explorar el Álgebra Temprana mediante contenidos geométricos
superando de esa manera algunas críticas que se han formulado y que expusimos
anteriormente.
A continuación exponemos algunas teorías que han sido desarrolladas por
distintos investigadores que abordan los contenidos y procesos algebraicos como
su objeto de interés particular.
Teoría de los registros de representación semiótica de Raymond Duval
Lo referido a las representaciones es el aspecto crucial en la teoría de
Duval (2006): las notaciones simbólicas diversas, cualquier diagrama, esquema,
una figura, etc., también se incluyen las fórmulas matemáticas así como los
enunciados verbales. Estos objetos Duval (2006) los denomina representaciones
semióticas y son medios de exteriorización de las representaciones metales para
fines de comunicación es decir, para hacerlos visibles o accesibles a otros.
159
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Una pregunta importante en esta teoría es ¿cuáles son las condiciones bajo
las cuales un numeral o un dibujo, por ejemplo, funcionan como una fidedigna
representación del objeto matemático que pretende aludir?, en este sentido
establece que una representación funciona verdaderamente como representación
cuando da acceso al objeto representado. Enfatiza la importancia de que “el objeto
no sea confundido con sus representaciones y que se le reconozca en cada una
de ellas. Es bajo esas dos condiciones que una representación funciona
verdaderamente como representación” (Duval, 2006; p. 12).
En este sentido Duval se plantea dos preguntas las cuales considera que
constituyen el núcleo del aprendizaje de las matemáticas: (a) ¿Cómo se aprende a
cambiar de registro?, y (b) ¿cómo se aprende a no confundir un objeto con la
representación que se propone? Según él, muchas de las dificultades en el
aprendizaje de las matemáticas se originan en el desconocimiento que tienen los
profesores sobre los fenómenos relativos a estas cuestiones. Esta teoría permite
analizar las representaciones que los alumnos y los docentes emplean para
resolver un problema. Señala que es esencial para la actividad matemática que
se puedan movilizar varios signos en el curso de una misma acción, o bien que se
tenga la habilidad para elegir un signo en lugar de otro. Consecuentemente, son
principios: (a) La actividad matemática se realiza necesariamente en un contexto
de representación; y (b) Los estudiantes deberían ser capaces de reconocer el
mismo objeto matemático de conocimiento en otros contextos de representación y
usarlos.
160
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Para Duval estos dos elementos son posibles, metodológicamente,
mediante dos clases de transformaciones de las representaciones semióticas: la
conversión y el tratamiento; y, metacognitivamente, empleando como estrategia el
concepto de coordinación interna. La conversión es la transformación de una
representación en una representación de otro registro conservando la totalidad o
una parte solamente del contenido de la representación inicial. Se trata de una
transformación externa a un registro. Un ejemplo es la transformación de la
representación algebraica
  en su correspondiente representación
gráfica.
El tratamiento de una representación se entiende como su transformación
en el mismo registro en el cual ha sido formulada. Se trata entonces de una
transformación interna a un registro. Un ejemplo es la transformación de la
expresión algebraica
  en su forma factorizada

. El proceso de simplificación o amplificación de una fracción es otro ejemplo de
tratamiento.
Teoría de la Objetivación de Luis Radford
Para la teoría de la objetivación de Radford (2010) es fundamental entender
el problema del papel de la cultura, de la historia y de la sociedad en el
aprendizaje del alumno. Esta teoría otorga un papel relevante a la acción
(entendida como labor o actividad) y la palabra (lenguaje. Se concibe que los
sistemas de signos no sólo tienen una función comunicativa, sino un papel
instrumental que modifica al propio sujeto que los utiliza como mediadores.
161
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Al colocarse el lenguaje entre sujeto y objeto hace que el objeto sea
percibido por el sujeto ya no como el objeto puro, sino como objeto transformado
por la acción que ejercen los lentes que ofrece la cultura, en este sentido el
lenguaje funciona como medio cultural de significación.
Radford (2010) considera que los signos y símbolos utilizados en el álgebra
escolar se han considerado como un sistema semiótico por excelencia. Sin
embargo, también admite que, desde una perspectiva semiótica, las palabras y los
gestos también pueden ser signos de naturaleza algebraica, sin que esto
signifique que deban ser equivalentes o que simplemente puedan sustituirse unos
por otros, esto es así debido a que no es en sí misma la simbología utilizada lo
que en realidad identifica un sistema semiótico, sino las significaciones que hacen
las personas.
La idea de medios semióticos de objetivación (artefactos, gestos, símbolos,
palabras) es considerada como recurso semiótico. Para Radford los medios
semióticos de objetivación no son únicamente herramientas por medio de las
cuales manipulamos el mundo, sino mediadores de nuestros actos intencionales,
portadores de una conciencia histórica construida a partir de la actividad cognitiva
de las generaciones precedentes.
Por otra parte, algunos aspectos generales de la Teoría de Objetivación
son: (a) parte de una posición política-conceptual que le da su propia forma y
contenido; (b) en esta posición política-conceptual reposa en una idea general
acerca de la educación; (c) la educación en general y la enseñanza y aprendizaje
162
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
en particular no tratan de saberes únicamente; y, (d) la educación en general y la
enseñanza y aprendizaje en particular tratan de saberes y de seres.
La Epistemografía de Jean-Philippe Drouhard
Drouhard (2009) ha acuñado y desarrollado el término Epistemografía para
referirse al cuerpo de conocimientos que debe poseer un estudiante para poder
hacer matemática que sea verdaderamente matemática. Según este autor:
“Elegimos para llamar a esta teoría ‘epistemografía’ porque se trata de
conocimiento (‘epistemológico’), pero, a diferencia de la epistemología, no en una
perspectiva histórica: más bien, epistemografía es una clase de geografía del
conocimiento” (p.480).
Su teoría consta de cinco sistemas fuertemente interrelacionados: (a) El
universo matemático: Aquí se responde a la pregunta: ¿qué es? Para hacer las
matemáticas, es necesario tener un poco de conocimiento de algo. Drouhard llama
un ‘objeto matemático’ ese ‘algo’. Está conformado por estos objetos matemáticos,
sus relaciones y propiedades; (b) El sistema de representación semiolingüístico:
Son los conocimientos acerca de los sistemas de representación semiótica, sus
elementos y sus reglas. Son semiolingüístico ya que en la actividad matemática se
emplean representaciones lingüísticas, tales como enunciados en lenguaje natural
o algebraico y representaciones semióticas no lingüísticas como gráficos
cartesianos, tablas, dibujos, etc. Estos conocimientos responden a la pregunta:
¿cómo decir, escribir o representar?; (c) Los instrumentos: Son los conocimientos
prácticos, como técnicas, uso de instrumentos, metodologías y procedimientos
heurísticos. Distingue entre los conocimientos relacionados con los instrumentos
163
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
materiales (los artefactos) y conocimiento acerca de los instrumentos lingüísticos
(por ejemplo, el tratamiento de representaciones semióticas). Estos conocimientos
responden a la pregunta ¿cómo hacerlo?; (d) Las reglas del juego matemático:
Tienen que ver con el mecanismo legitimador; es decir, debe tenerse a la mano un
cuerpo de normas que respondan a la pregunta: ¿cuáles son los instrumentos
legítimos a usar en la resolución de un cierto problema?, y (e) Los identificadores:
Comprende el reconocimiento o el establecimiento de lo que se hace, este tipo de
conocimiento permite: (1) Reconocer en las expresiones generales que se
manifiestan mientras se realiza una actividad matemática lo que se cree que es o
no matemática; (2) Identificar distintos dominios, con estilos de trabajo diferentes.
De acuerdo con Rojano (1994) “para Drouhard existen objetos de
enseñanza del álgebra, cuyas dificultades de aprendizaje no pueden ser descritas
en términos conceptuales, ya que dichos objetos no constituyen conceptos” (p.52).
En consecuencia, “este autor plantea como problema básico clarificar qué son las
escrituras algebraicas (ya que no son conceptos) y cuáles sus significaciones.
(Rojano, 1994; p. 52)
Teoría de Lakoff y Núñez acerca de la naturaleza de las matemáticas
Lakoff y Núñez (2000) retoman una discusión de vieja data, se trata del
problema filosófico acerca del ser de las Matemáticas. De enorme trascendencia
es la pregunta ¿De dónde provienen las matemáticas? Muchos son los filósofos y
matemáticos que se han dedicado a cavilar esta pregunta y las posibles
respuestas: las matemáticas existen en alguna parte del universo; o, son una
creación de la mente humana. La primera postura fue asumida por Platón (siglo IV
164
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
a. C), significa que la labor del matemático, en primera instancia, es acceder a
ellas mediante complejos mecanismos humanos de captación y descubrimiento;
en el segundo caso, se trata de una obra producto de la imaginación. Ambas
visiones también tienen implicaciones para la enseñanza.
Los autores retoman dichas preguntas y le dan respuestas desde una
perspectiva cognitiva de la ciencia, pero lo novedoso de su aporte estriba en la
naturaleza empírica de sus afirmaciones. De acuerdo con ellos, se trata de una
demostración, por primera vez, de que los humanos nacen con una base innata de
aritmética. De tal manera que los logros en las matemáticas los son en virtud de
una maravillosa obra de creación. Según su punto de vista, la naturaleza de las
matemáticas hay que buscarla en las ideas de las personas, no en las
demostraciones formales, axiomas y definiciones ni en mundos trascendentes
platónicos.
Estas ideas surgen de los mecanismos cognitivos y corporales de las
personas. Por razones de tipo evolutivo, todos desarrollamos los mismos
mecanismos cognitivos de los que surgen las ideas matemáticas. Debido a su
origen común, las ideas matemáticas no son arbitrarias, no son producto de
convenciones completamente sociales y culturales aunque los aspectos sociales
e históricos juegan papeles importantes en la formación y desarrollo de estas
ideas.
La metáfora es un concepto importante en el desarrollo de la teoría de estos
autores ya que la conciben como aprender un concepto en términos de otro
(Lakoff y Johnson, 1980). En contraposición al modelo tradicional, la teoría de la
165
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
metáfora conceptual de Lakoff y Johnson (1980) la consideran como una
proyección entre dos dominios semánticos distintos, que permite comprender lo
abstracto a partir de lo concreto. El dominio semántico a partir del cual se forma la
metáfora se denomina dominio de origen y pertenece a un dominio conceptual
concreto, que tiene una base sensorial y/o motriz. Por el contrario, el dominio
semántico en el que se proyecta la metáfora se denomina dominio de destino y
pertenece a un ámbito conceptual más abstracto.
En función de lo anterior, en las matemáticas, Lakoff y Johnson (1980)
distinguen dos tipos de metáforas conceptuales: (a) metáforas grounding, son las
que tienen su dominio de partida dentro de las matemáticas, pero su dominio de
llegada fuera de ellas. Por ejemplo, un espacio vectorial es una caja de cosas, una
función es una máquina, etc.; y, (b) metáforas linking, tienen su dominio de partida
y de llegada en las mismas matemáticas; en general, se sustentan sobre el
concepto de isomorfismo. Ejemplo de ellas las tenemos en las siguientes
afirmaciones los números reales son los puntos de una recta, un operador lineal
en un espacio finito dimensional es una matriz cuadrada, el espacio R
2
es el
mismo espacio R
2x1
(los pares ordenados como matrices columnas), etc.
Consideraciones finales
La didáctica del álgebra en los niveles básicos y medios del sistema escolar
venezolano podríamos decir que es un territorio inexplorado si tomamos en cuenta
los distintos enfoques para la enseñanza del álgebra escolar, por lo que teorizar
sobre este tema es una tarea pendiente. Desde el punto de vista metodológico
166
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
contiene muchas carencias, ya que el abanico de recursos y estrategias luce muy
reducido, inespecífico y en consecuencia de poco impacto. Sin embargo, a pesar
de esta descripción o quizás por ella misma, creemos y apostamos a las
posibilidades de la línea de investigación LIDALGEBRA dedicada al desarrollo de
investigaciones cuyos asuntos de interés indagatorio se concentren alrededor del
pensamiento algebraico. En González (2015) se presentan detalladamente
algunos temas específicos que pueden ser estudiados, se identifican aspectos de
todos los niveles, incluyendo los que tienen que ver con la formación inicial del
profesor de matemática. En particular, en el nivel primario creemos que es
prioritario dedicarse al estudio de los enfoques para la introducción del álgebra de
Bednarz, Kieran y Lee (1996), así como también investigar en torno a las
corrientes álgebra temprana y pre álgebra relacionadas con los fines del álgebra y
sus momentos didácticos más oportunos. Somos optimistas en que estos
contenidos pueden desarrollarse con investigaciones robustas
metodológicamente, sin recurrir a la preeminencia de una teoría particular en el
ámbito de la EM, pues creemos que la complejidad tanto de la matemática escolar
como la de su enseñanza, así como también el devenir histórico de las distintas
corrientes científicas, nos han demostrado los beneficios del multiperspectivismo.
Al final de cuentas lo que aspiramos es generar amplias discusiones, y que
nuestros escolares sean receptores de los beneficios de una didáctica del álgebra
innovadora y moderna.
167
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Referencias
Andonegui, M. (2009). La Matemática de primer año de bachillerato. Mérida,
Venezuela: XIII Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.
Barrio, E.; Lalanne, L.; Petich, A. (2010). Entre y aritmética y álgebra: Un camino
que atraviesa los niveles primario y secundario: Investigaciones y aportes.
Buenos Aires: Novedades Educativas.
Bednarz, N., Kieran, C. y Lee, L. (1996). Approaches to Algebra. Perspectives for
Research and Teaching. Países Bajos: Kluwer Academic Publishers
Butto, C., Rojano, T. (2004). Introducción temprana al pensamiento algebraico:
abordaje basado en la geometría. Educación Matemática, 16 (1), 113-148.
Chevallard, Y. (1985). Le passage de l’arithmétique á l algébre dans
l’enseignement des mathématiques au college. Premiére partie. L’évolution
de la transposition didactique. Petix X, (5), 51-94.
Davydov, V. (1995). Introduction to the grade 1 teacher manual.
Drouhard, J.P. (2009). Epistemography and algebra. Proceedings of the Sixth
Congress of the European Society for Research in Mathematics Education.
January 28th -February 1st 2009, Lyon (France). Disponible en
http://ife.enslyon.fr/editions/editions-electroniques/cerme6/cerme6.[Fecha de
consulta: 11 enero, 2015]
Duval, R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para
cambiar el registro de representación. La Gaceta de La RSME, 9(1), 143–
168.
168
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Filloy, E. (1999). Aspectos teóricos del álgebra educativa. México: Grupo editorial
Iberoamérica
González, A. (2015). Lidalgebra: propuesta de una línea de investigación en
didáctica del álgebra y pensamiento algebraico En Sanoja (Presidencia),
Libro de Resúmenes (pp. 218-236). Conferencia llevada a cabo en la VII
Jornada de Investigación en Educación Matemática, Maracay, Venezuela.
Kaput, J. (1996). ¿Una línea de investigación que sustente la reforma del álgebra?
UNO Revista de Didáctica de las Matemáticas, 9, 85-97.
Kieran, C. (1989). A perspective on algebraic thinking. En G. Vergnaud, J.
Rogalski y M. Artigue (Eds.), Proceedings of the 13th Annual Conference of
the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp.
163–171). July 9–13, Paris, France
Kieran, C. y Filloy, E. (1989). El aprendizaje del álgebra escolar desde una
perspectiva psicológica. Enseñanza de las Ciencias, 7 (3), 229-240.
Lakoff, G. y Johnson, M. (1980). Metáforas de la vida cotidiana. EU: Teorema
Lakoff, G. y Núñez, R. (2000). Where Mathematics comes from? E.U: Basic Books
Mosquera, j. (2017). Historia reciente de la enseñanza del álgebra lineal en la
Educación Media. Educación en contexto, 6(11), 98-122.
Palarea, M. (1998). La adquisición del lenguaje algebraico y la detección de
errores comunes cometidos en álgebra por alumnos de 12 a 14 años (Tesis
doctoral). Universidad de la Laguna, España.
Radford, L. (2010). Layers of generality and types of generalization in pattern
activities. PNA, 4(2), 37-62.
169
Educ@ción en Contexto, Vol. VII, N°14, Julio-Diciembre, 2021. ISSN 2477-9296
Asuntos de Interés Indagatorio en Álgebra Educativa. González, A.
Samper de C. C. (1996). Geometría como instrumento del Álgebra. Educación
Matemática, 8(3), 85-94.
Schlieman, A.; Carraher, D.; Brizuela, B. (2011). El carácter algebraico de la
aritmética. De las ideas de los niños a las actividades en el aula. Buenos
Aires: Paidos.
Serres, Y. (2011). Iniciación del aprendizaje del álgebra y sus consecuencias para
la enseñanza Sapiens. Revista Universitaria de Investigación, Año 12, Nº 1,
junio 2011, pp.122-142
Socas, M., Camacho, M. y Hernández, J. (1998). Análisis didáctico del lenguaje
algebraico en la enseñanza secundaria. Revista Universitaria de formación
del profesorado 32, 73-86, Revista en línea Disponible en
dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/117980.pdf.[Fecha de consulta: 28
enero 2014].
Socas, M. (1999). Perspectivas de investigación en pensamiento algebraico. En
Ortega, Tomás (Ed.), Actas del III SEIEM (pp. 261-282). Valladolid:
Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM.
Socas, M. (2011). La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria.
Aportaciones de la investigación. Números, Revista de didáctica de las
Matemáticas, Vol. 77, 5–34.
Valdivé, C. y Escobar, H. (2011). Estudio de los polinomios en contexto. Revista
Paradigma, Vol. XXXII, Nº 2, 85 – 106.